Apollonian Gasket je typ fraktálneho obrazu, ktorý je vytvorený zo zbierky stále sa zmenšujúcich kruhov obsiahnutých v jednom veľkom kruhu. Každý kruh v Apollonianskom tesnení je dotyčnicou k susedným kruhom - inými slovami, kruhy v Apollonianskom tesnení nadväzujú kontakt v nekonečne malých bodoch. Tento typ fraktálu je pomenovaný podľa gréckeho matematika Apollónia z Pergy a je možné ho kresliť (ručne alebo počítačom) v primeranej miere zložitosti a vytvára nádherný a pôsobivý obraz. Začnite podľa kroku 1 nižšie.
Kroky
Časť 1 z 2: Pochopte kľúčové pojmy
Aby bolo úplne jasné, ak vás jednoducho zaujíma kresba Apollonianskeho tesnenia, nie je nevyhnutné skúmať matematické princípy za fraktálom. Ak však chcete hlbšie porozumieť Apollonianovým tesneniam, je dôležité porozumieť definíciám niekoľkých konceptov, ktoré pri diskusii použijeme.
Krok 1. Definujte kľúčové pojmy
V nižšie uvedených pokynoch sú použité nasledujúce výrazy:
- Apollonian Gasket: Jeden z niekoľkých názvov pre typ fraktálu zloženého zo série kruhov vnorených do jedného veľkého kruhu a dotýkajúcich sa všetkých ostatných v okolí. Hovorí sa im tiež „Soddy Circles“alebo „Kissing Circles“.
- Polomer kruhu: Vzdialenosť od stredového bodu kruhu k jeho okraju. Obvykle je priradená premenná r.
- Zakrivenie kruhu: kladná alebo záporná inverzná hodnota polomeru alebo ± 1/r. Zakrivenie je pozitívne pri riešení vonkajšieho zakrivenia kruhu a záporné pre vnútorné zakrivenie.
- Tangens: Termín používaný na čiary, roviny a tvary, ktoré sa pretínajú v jednom nekonečne malom bode. V Apollonových tesneniach to znamená, že každý kruh sa dotýka každého blízkeho kruhu iba v jednom bode. Všimnite si, že neexistuje žiadna križovatka - dotykové tvary sa neprekrývajú.
Krok 2. Pochopte Descartovu vetu
Descartesova veta je vzorec, ktorý je užitočný na výpočet veľkostí kruhov v Apollonianskom tesnení. Ak definujeme zakrivenia (1/r) ľubovoľných troch kruhov ako a, b, a c, veta bude tvrdiť, že zakrivenie kruhu (alebo kruhov) dotýkajúce sa všetkých troch kruhov, ktoré definujeme ako d, je: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Na naše účely budeme spravidla používať iba odpoveď, ktorú získame tak, že pred odmocninu dáme znamienko plus (inými slovami… + 2 (sqrt (…)). Nateraz stačí vedieť, že odčítanie forma rovnice má svoje využitie v ďalších súvisiacich úlohách
Časť 2 z 2: Konštrukcia Apollonianskeho tesnenia
Apollonské tesnenia majú formu krásnych fraktálnych usporiadaní zmenšujúcich sa kruhov. Matematicky je Apollonianova tesnenie nekonečná zložitosť, ale či už používate počítačový kresliaci program alebo tradičné kresliace nástroje, nakoniec dosiahnete bod, v ktorom nie je možné kresliť kruhy menšie. Upozorňujeme, že čím presnejšie nakreslíte svoje kruhy, tým viac sa vám do tesnenia zmestí.
Krok 1. Zhromaždite svoje digitálne alebo analógové kresliace nástroje
V nižšie uvedených krokoch si vyrobíme vlastné jednoduché apolónske tesnenie. Apollonianske tesnenia je možné kresliť ručne alebo na počítači. V každom prípade budete chcieť byť schopní nakresliť dokonale okrúhle kruhy. To je dosť dôležité. Pretože každý kruh v Apollonianskom tesnení je dokonale dotykový s kruhmi vedľa neho, kruhy, ktoré sú dokonca mierne deformované, môžu „odhodiť“váš konečný produkt.
- Ak kreslíte těsnění na počítači, budete potrebovať program, ktorý vám umožní ľahko nakresliť kruhy s pevným polomerom z centrálneho bodu. Je možné použiť Gfig, rozšírenie pre vektorové kreslenie pre bezplatný program na úpravu obrázkov GIMP, ako aj mnoho ďalších programov pre kreslenie (príslušné odkazy nájdete v časti s materiálmi). Na vytváranie poznámok o krivkách a polomeroch budete pravdepodobne potrebovať aj aplikáciu kalkulačky a buď textový procesor, alebo fyzický poznámkový blok.
- Na ručné kreslenie tesnenia budete potrebovať kalkulačku (odporúča sa vedecká alebo grafická), ceruzku, kompas, pravítko (najlepšie mierku s milimetrovými značkami, milimetrový papier a poznámkový blok na písanie poznámok).
Krok 2. Začnite s jedným veľkým kruhom
Vaša prvá úloha je jednoduchá - nakreslite jeden veľký, dokonale okrúhly kruh. Čím väčší je kruh, tým zložitejšie môže byť vaše Tesnenie, preto sa snažte vytvoriť kruh tak veľký, ako to papier umožňuje, alebo taký veľký, aký ľahko uvidíte v jednom okne programu na kreslenie.
Krok 3. Vo vnútri originálu vytvorte menší kruh, dotýkajúci sa jednej strany
Ďalej nakreslite do prvého kruhu ďalší, ktorý je menší ako pôvodný, ale stále pomerne veľký. Presná veľkosť druhého kruhu je na vás - neexistuje správna veľkosť. Pre naše účely však nakreslíme náš druhý kruh tak, aby siahol presne do polovice nášho veľkého vonkajšieho kruhu. Inými slovami, nakreslíme náš druhý kruh tak, aby jeho stredový bod bol stredom polomeru veľkého kruhu.
Nezabudnite, že v Apollonových tesneniach sú všetky kruhy, ktorých sa dotýkajú, navzájom dotýkajúce sa. Ak na kreslenie kruhov používate kompas ručne, obnovte tento efekt umiestnením ostrého bodu kompasu do stredu polomeru veľkého vonkajšieho kruhu a úpravou ceruzky tak, aby sa dotýkala iba okraja veľkého kruhu, potom nakreslite svoj menší vnútorný kruh
Krok 4. Nakreslite identický kruh „oproti“menšiemu vnútornému kruhu
Ďalej nakreslíme ďalší kruh oproti nášmu prvému. Tento kruh by mal byť dotykový k veľkému vonkajšiemu kruhu aj k menšiemu vnútornému kruhu, čo znamená, že sa vaše dva vnútorné kruhy budú dotýkať presne v strede veľkého vonkajšieho kruhu.
Krok 5. Použitím Descartesovej vety zistíte veľkosť svojich ďalších kruhov
Zastavme na chvíľu kreslenie. Teraz, keď máme v tesnení tri kruhy, môžeme použiť Descartesovu vetu na nájdenie polomeru nasledujúceho kruhu, ktorý nakreslíme. Pamätajte si, že Descartova veta je d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), kde a, b, a c sú zakrivenia vašich troch dotykových kruhov a d je zakrivenie kružnice dotyčnice ku všetkým trom. Aby sme teda našli polomer nášho nasledujúceho kruhu, nájdeme zakrivenie každého z kruhov, ktoré zatiaľ máme, aby sme mohli nájsť zakrivenie nasledujúceho kruhu, a potom ho preveďte na jeho polomer.
-
Polomer nášho vonkajšieho kruhu definujme ako
Krok 1.. Pretože ostatné kruhy sú v tomto, zaoberáme sa jeho vnútorným zakrivením (nie vonkajším zakrivením), a preto vieme, že jeho zakrivenie je negatívne. -1/r = -1/1 = -1. Zakrivenie veľkého kruhu je - 1.
-
Polomery menších kruhov sú o polovicu menšie ako veľké kruhy, alebo inými slovami, 1/2. Pretože sa tieto kruhy dotýkajú navzájom a veľkého kruhu vonkajším okrajom, zaoberáme sa ich vonkajším zakrivením, takže ich zakrivenia sú pozitívne. 1/(1/2) = 2. Zakrivenia menších kruhov sú obe
Krok 2..
-
Teraz vieme, že a = -1, b = 2 a c = 2 pre rovnicu našej Descartovej vety. Vyriešime d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Zakrivenie nášho nasledujúceho kruhu je
Krok 3. Pretože 3 = 1/r, polomer nášho nasledujúceho kruhu je 1/3.
Krok 6. Vytvorte ďalšiu sadu kruhov
Pomocou hodnoty polomeru, ktorú ste práve našli, nakreslite ďalšie dva kruhy. Pamätajte si, že tieto budú dotykové ku kruhom, ktorých zakrivenia ste použili pre a, b, a c v Descartovej vete. Inými slovami, budú sa dotýkať pôvodného aj druhého kruhu. Aby boli tieto kruhy dotykové ku všetkým trom kruhom, musíte ich nakresliť na otvorenom priestranstve v hornej a dolnej časti oblasti vo vnútri veľkého pôvodného kruhu.
Polomer týchto kruhov sa bude rovnať 1/3. Odmerajte 1/3 späť od okraja vonkajšieho kruhu a potom nakreslite nový kruh. Mal by byť dotykový ku všetkým trom okolitým kruhom
Krok 7. Pokračujte týmto spôsobom a pokračujte v pridávaní kruhov
Pretože sú to fraktály, sú apollonské tesnenia nekonečne zložité. To znamená, že k obsahu svojho srdca môžete pridávať stále menšie kruhy. Obmedzená je iba presnosť nástrojov (alebo, ak používate počítač, schopnosť programu na kreslenie „priblížiť“). Každý kruh, bez ohľadu na to, aký je malý, by mal byť dotyčnicou troch ďalších kruhov. Ak chcete nakresliť každý nasledujúci kruh do svojho tesnenia, zapojte zakrivenia troch kruhov, ktorých sa bude dotýkať, do Descartovej vety. Potom pomocou svojej odpovede (ktorou bude polomer vášho nového kruhu) nakreslite nový kruh presne.
- Všimnite si toho, že tesnenie, ktoré sme sa rozhodli nakresliť, je symetrické, takže polomer jedného kruhu je rovnaký ako zodpovedajúci kruh „oproti nemu“. Vedzte však, že nie každé Apollonianske tesnenie je symetrické.
-
Poďme sa zaoberať ešte jedným príkladom. Povedzme, že po nakreslení našej poslednej sady kruhov chceme teraz nakresliť kruhy, ktoré sa dotýkajú našej tretej sady, našej druhej sady a nášho veľkého vonkajšieho kruhu. Zakrivenia týchto kruhov sú 3, 2 a -1. Pripojme tieto čísla do Descartovej vety s nastavením a = -1, b = 2 a c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Máme dve odpovede! Pretože však vieme, že náš nový kruh bude menší ako všetky kruhy, ktorých sa dotýka, iba zakrivenie
Krok 6. (a teda polomer 1/6) dáva zmysel.
- Naša druhá odpoveď, 2, sa v skutočnosti týka hypotetického kruhu na druhej strane dotyčnice nášho druhého a tretieho kruhu. Tento kruh je dotyčnica k obidvom týmto kruhom a k veľkému vonkajšiemu kruhu, ale pretína kruhy, ktoré sme už nakreslili, takže to môžeme ignorovať.
Krok 8. Pokiaľ ide o výzvu, pokúste sa vytvoriť nesymetrické Apollonianske tesnenie zmenou veľkosti druhého kruhu
Všetky Apollonianove tesnenia začínajú rovnako - s veľkým vonkajším kruhom, ktorý funguje ako okraj fraktálu. Neexistuje však dôvod, aby váš druhý kruh nevyhnutne musel mať 1/2 polomeru prvého - rozhodli sme sa to urobiť vyššie, pretože je to jednoduché a ľahko zrozumiteľné. Skúste si pre zábavu začať nové Tesnenie s druhým kruhom inej veľkosti - povedie to k vzrušujúcim novým možnostiam skúmania.
